50/50 pool和xy=k恒定乘积做市是等价的吗?

50/50 pool和xy=k是等价的吗?

恒定乘积做市商也叫50/50资金池,但很多并不知道为什么这两者之间的内在联系,今天笔者将从数学角度推导一下两者之间的等价性。

1、50/50 pool 推出 xy=k

假设资金池中的tokenA和tokenB的价值永远相等,其中tokenA的储备量为x,tokenB的储备量为y,那么两者价值相等将会有:

y=-px---------------------------------------------(1)

兑换价格为p,那么p=dy/dx---------------(2)

(2)代入(1)中则有:

dy/dx=-y/x

dy/y=-dx/x

两边积分后得到:

lny=-lnx+C

lny+lnx=C

ln(xy)=C

xy=e^C

即通解是

xy=k

2、 xy=k 推出50/50 pool

tokenA的储备量为x,tokenB的储备量为y,满足

xy=k--------------------------- (3)

那么y=k/x---------------------(4)

求导数后:

dy/dx = -k/x^2----------------(5)

将(3)代入(5)之后得到

y=-xdy/dx=px

因此同样得到tokenA和tokenB的价值相等,这里需要注意的是dy/dx=-p 是因为对于资金池来说一个代币增加,另外一个代币必然减少,因此代币的变化量等于价格的负数。

综上所述,50/50 pool和xy=k是完全等价的。

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  admin   2022-5-21