50/50 pool和xy＝k恒定乘积做市是等价的吗？

50/50 pool和xy=k是等价的吗？

恒定乘积做市商也叫50/50资金池，但很多并不知道为什么这两者之间的内在联系，今天笔者将从数学角度推导一下两者之间的等价性。

1、50/50 pool 推出 xy=k

假设资金池中的tokenA和tokenB的价值永远相等，其中tokenA的储备量为x，tokenB的储备量为y，那么两者价值相等将会有:

y=-px---------------------------------------------(1)

兑换价格为p，那么p=dy/dx---------------(2)

(2)代入(1)中则有：

dy/dx=-y/x

dy/y=-dx/x

两边积分后得到:

lny=-lnx+C

lny+lnx=C

ln(xy)=C

xy=e^C

即通解是

xy=k

2、 xy=k 推出50/50 pool

tokenA的储备量为x，tokenB的储备量为y,满足

xy=k--------------------------- (3)

那么y=k/x---------------------(4)

求导数后:

dy/dx = -k/x^2----------------(5)

将(3)代入(5)之后得到

y=-xdy/dx=px

因此同样得到tokenA和tokenB的价值相等，这里需要注意的是dy/dx=-p 是因为对于资金池来说一个代币增加，另外一个代币必然减少，因此代币的变化量等于价格的负数。

综上所述，50/50 pool和xy=k是完全等价的。